2022年10月6日木曜日

「期待値」と「試行回数」の関係

 

 

昨日クラチャで話題に出ていたので,簡単な解説。

「成功率は高いが費用も高い試行」と「成功率は低いが費用も低い」試行のどっちを選ぶべきか,という話です。

 

次のような例を考えてみましょう。

あるアイテムの確率制作について,

9999kで成功率9999/10000作る」方法と,

1kで成功率1/10000で作る」方法があったとします。

 

感覚的には「値段は9999分の1になるけど,成功率も9999分の1になるから,どっちでもいいんじゃない?」となるかもしれません。

これは半分正しいですが半分間違っており,現実的には「9999kで成功率9999/10000で作る」方法を行った方がはるかにお得です。なぜか?

 

まずは「期待値」を計算してみましょう。

9999kで成功率9999/10000作る」方法では,9999k÷(9999/10000)より,期待値は10000kとなります。

1kで成功率1/10000で作る」方法でも,1k÷(1/10000)より,期待値は10000kとなります。

 

ほらね,どっちも同じじゃん!と思うかもしれません。

その通り,「値段は9999分の1になるけど,成功率も9999分の1になる」ので期待値は同じです。

これが上で「半分正しい」と言った理由です。

 

次に,1回この話を脇に置いて

9999kで成功率9999/10000作る」方法で1回試行して失敗する確率を考えてみましょう。

これは簡単で,1/10000となりますね。ほぼ失敗しないと言えます。


一方,1kで成功率1/10000で作る」方法で9999回試行して,一度も成功しない確率を考えてみましょう。「9999回やっても何もできない」確率をどう求めるかというと,「9999/10000という失敗を9999連続で引く確率」を求めればよくなります。

このような場合は,「(9999/10000)^9999」という計算で求めることができます(^9999は9999回かけるという意味,めんどいならGoogleに打ち込めば計算してくれます)。

(9999/10000)^9999=0.3678978なので,およそ36.8%の確率で9999回試行しても成功しないことが解ります。

どちらも試行に費やした費用は9999kで同じですが,1kで成功率1/1000で作る」方法は大損をしていることがわかりますね。



というわけで 現実的には「9999kで成功率9999/10000作る」方法を行った方がお得となります。

例えば,ルムスナの保護スクは,スクでやるより箱でやった方が得になるわけです。


でも期待値は同じなんだよね?なんで?と思ったそこのアナタ。

9999kで成功率9999/10000作る」方法で1回試行して失敗することはほぼありえませんが,それでも1/10000で失敗するわけです。そして,失敗した場合は大損するのは解ると思います。

逆に,1kで成功率1/10000で作る」方法で1回試行してものすご〜く運よく成功した場合,ものすごく得をしますよね。(そして,10000回施行すれば2個以上できる場合もあります)

細かい計算は省きますが,このように「確率は低いがコストも低い」方法は,成功した時のリターンが大きいので期待値は同じになるのです。           

(逆の場合は失敗した場合のマイナスが大きくなるということです)


というわけで,「俺は大いなるリターンを求めるぜ!」という人が挑戦するなら別ですが,Lineageにおいて現実的には「成功率は高いが費用も高い試行」を選んだ方が得になることが多いのです。

 

このお方くらいバカスカとお金を突っ込む(=試行回数を増やす)なら,もうどっちでもいいですけどね!

 

 

 

ここからは原理の解説。

なぜこんなことが起こるか,といえば「確率とは十分に試行回数が多いときに起こる程度」と言えるからです*1。

従って,少ない試行回数になればなるほど,結果は偶然に左右され,理論的な確率からずれやすく,起きにくい現象が起きにくくなります

「成功する確率が高いほど,少ない試行回数でも確率通りに成功する。一方,成功する確率が低いほど,少ない試行回数では確率通りに成功しない」ということです。 

これは期待値についても同じで,期待値は「十分に試行回数が多い時に期待される」値なので,試行回数が少ないと期待値に十分近づかないのです。


今回の例でいえば,試行回数を10000倍にして1kで成功率1/10000で作る」方法で99990000回試行すれば,ほぼ理論通り10000個できると言えます。。

つまり,沢山の費用を用意して,一杯試行するならどちらの方法でやっても同じです。

 

 

*1 正確には,確率は信念の度合いである(ベイズ主義)という考え方もありますが・・・

 

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2 件のコメント:

ソフィ さんのコメント...

キョ・・キョウジュと呼ばせて頂いてもいいですカ!!

?=? さんのコメント...

キョジュウと呼んでください。