「期待値」と「試行回数」の関係

 

 

昨日クラチャで話題に出ていたので，簡単な解説。

「成功率は高いが費用も高い試行」と「成功率は低いが費用も低い」試行のどっちを選ぶべきか，という話です。

 

次のような例を考えてみましょう。

あるアイテムの確率制作について，

「9999kで成功率9999/10000で作る」方法と，

「1kで成功率1/10000で作る」方法があったとします。

 

感覚的には「値段は9999分の1になるけど，成功率も9999分の1になるから，どっちでもいいんじゃない？」となるかもしれません。

これは半分正しいですが半分間違っており，現実的には「9999kで成功率9999/10000で作る」方法を行った方がはるかにお得です。なぜか？

 

まずは「期待値」を計算してみましょう。

「9999kで成功率9999/10000で作る」方法では，9999k÷（9999/10000）より，期待値は10000kとなります。

「1kで成功率1/10000で作る」方法でも，1k÷（1/10000）より，期待値は10000kとなります。

 

ほらね，どっちも同じじゃん！と思うかもしれません。

その通り，「値段は9999分の1になるけど，成功率も9999分の1になる」ので期待値は同じです。

これが上で「半分正しい」と言った理由です。

 

次に，1回この話を脇に置いて

「9999kで成功率9999/10000で作る」方法で1回試行して失敗する確率を考えてみましょう。

これは簡単で，1/10000となりますね。ほぼ失敗しないと言えます。

一方，「1kで成功率1/10000で作る」方法で9999回試行して，一度も成功しない確率を考えてみましょう。「9999回やっても何もできない」確率をどう求めるかというと，「9999/10000という失敗を9999連続で引く確率」を求めればよくなります。

このような場合は，「(9999/10000)^9999」という計算で求めることができます（^9999は9999回かけるという意味，めんどいならGoogleに打ち込めば計算してくれます）。

(9999/10000)^9999=0.3678978なので，およそ36.8％の確率で9999回試行しても成功しないことが解ります。

どちらも試行に費やした費用は9999kで同じですが，「1kで成功率1/1000で作る」方法は大損をしていることがわかりますね。

というわけで 現実的には「9999kで成功率9999/10000で作る」方法を行った方がお得となります。

例えば，ルムスナの保護スクは，スクでやるより箱でやった方が得になるわけです。

でも期待値は同じなんだよね？なんで？と思ったそこのアナタ。

「9999kで成功率9999/10000で作る」方法で1回試行して失敗することはほぼありえませんが，それでも1/10000で失敗するわけです。そして，失敗した場合は大損するのは解ると思います。

逆に，「1kで成功率1/10000で作る」方法で1回試行してものすご〜く運よく成功した場合，ものすごく得をしますよね。（そして，10000回施行すれば2個以上できる場合もあります）

細かい計算は省きますが，このように「確率は低いがコストも低い」方法は，成功した時のリターンが大きいので期待値は同じになるのです。           

（逆の場合は失敗した場合のマイナスが大きくなるということです）

というわけで，「俺は大いなるリターンを求めるぜ！」という人が挑戦するなら別ですが，Lineageにおいて現実的には「成功率は高いが費用も高い試行」を選んだ方が得になることが多いのです。

 

このお方くらいバカスカとお金を突っ込む（＝試行回数を増やす）なら，もうどっちでもいいですけどね！

 

 

 

ここからは原理の解説。

なぜこんなことが起こるか，といえば「確率とは十分に試行回数が多いときに起こる程度」と言えるからです*1。

従って，少ない試行回数になればなるほど，結果は偶然に左右され，理論的な確率からずれやすく，起きにくい現象が起きにくくなります。

「成功する確率が高いほど，少ない試行回数でも確率通りに成功する。一方，成功する確率が低いほど，少ない試行回数では確率通りに成功しない」ということです。 

これは期待値についても同じで，期待値は「十分に試行回数が多い時に期待される」値なので，試行回数が少ないと期待値に十分近づかないのです。

今回の例でいえば，試行回数を10000倍にして「1kで成功率1/10000で作る」方法で99990000回試行すれば，ほぼ理論通り10000個できると言えます。。

つまり，沢山の費用を用意して，一杯試行するならどちらの方法でやっても同じです。

 

 

*1 正確には，確率は信念の度合いである（ベイズ主義）という考え方もありますが・・・

 

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